종단속도 계산기

한눈에 보기

종단속도는 낙하하는 물체가 더 이상 빨라지지 않는 최대 속도입니다. 스카이다이빙 자세별 속도 비교, 낙하산의 감속 효과 추정, 빗방울·우박 같은 작은 물체의 낙하 속도 어림, 물리 과제의 검산에 씁니다. 입력값은 질량, 항력계수(Cd), 진행 방향 단면적(A), 공기밀도(ρ) 네 가지입니다.

원리와 공식

낙하하는 물체에는 아래로 mg의 중력이, 위로 ½ρACd·v²의 공기저항(항력)이 작용합니다. 항력은 속도의 제곱에 비례해 커지므로 어느 속도에서 두 힘이 같아지고, 그 순간부터 알짜 힘이 0이 되어 속도가 일정해집니다. mg = ½ρACd·v²을 v에 대해 풀면 다음과 같습니다.

종단속도 v = √(2mg ÷ (ρ × A × Cd))

• m: 질량(kg), g: 중력가속도(9.8m/s²)
• ρ(로): 공기밀도(kg/m³), A: 진행 방향에서 본 단면적(m²)
• Cd: 모양과 표면에 따라 정해지는 무차원 항력계수

v는 질량의 제곱근에 비례합니다. 질량이 4배면 종단속도는 2배, 단면적이 4배면 종단속도는 절반입니다. 또 식에서 Cd와 A는 항상 곱 Cd·A로만 등장하므로, 자세를 바꿀 때는 두 값을 따로 맞추기보다 곱이 얼마인지가 중요합니다.

Cd·A 값에 따른 종단속도 (70kg)

같은 70kg이라도 자세에 따라 Cd·A가 크게 달라져 속도가 달라집니다. 아래는 해수면 표준 밀도 1.225kg/m³에서 Cd·A만 바꾼 값입니다(A를 1m²로 두고 Cd에 해당 곱을 넣어 계산).

스카이다이버가 배를 아래로 향하고 팔다리를 벌렸을 때 흔히 시속 200km 안팎으로 알려져 있는데, 이는 체격·장비에 따라 달라지는 대략적 수치입니다. 이 식으로 그 정도 속도를 재현하려면 Cd·A가 0.4m² 안팎이거나 그보다 작아야 합니다. 이 페이지의 "배쪽 낙하 자세" 프리셋(70kg, Cd 1.0, A 0.45m²)은 약180km/h가 나오며, 머리를 아래로 한 자세는 Cd·A가 훨씬 작아 훨씬 빠른263km/h 수준이 됩니다. 프리셋은 어디까지나 어림값이고 개인별 실제 값은 다릅니다.

고도에 따른 공기밀도와 종단속도

표준 대기(ISA) 대류권 식으로 계산한 공기밀도입니다. 같은 물체(70kg, Cd·A 0.45m²)의 종단속도가 고도에 따라 얼마나 커지는지 함께 정리했습니다. 실제 날씨와 기온에 따라 밀도는 달라집니다.

종단속도는 √ρ에 반비례하므로 고도 5,000m에서 밀도가 약 60%로 줄면 속도는 약 1.3배가 됩니다. 이 도구는 밀도를 하나의 값으로 고정하므로, 높은 곳에서 낙하하는 경우 낙하 중 밀도 변화는 반영되지 않습니다. 고도별 밀도를 직접 찾아 입력 칸에 넣는 방식으로 보완하세요.

종단속도에 도달하는 데 걸리는 시간

항력이 속도 제곱에 비례하는 모델에서는 속도가 종단속도에 점점 가까워질 뿐 정확히 도달하지는 않습니다. 그래서 "95% 도달" 같은 기준을 씁니다. 아래는 70kg, Cd·A 0.45m² 사례(종단속도 약 49.9m/s)입니다.

이 모델에서는 95% 도달까지 10초 안팎, 낙하 거리는 수백 미터 규모입니다. 이는 스카이다이빙에서 종단속도 부근에 도달하는 데 십여 초 걸린다는 일반적 설명과 같은 규모이지만, 실제 시간은 자세 변화와 밀도 변화로 달라집니다.

구형 물체 어림: 물방울 예시

지름 d인 구(Cd를 0.47로 가정)의 단면적은 πd²/4, 질량은 ρ물·πd³/6이므로 종단속도는 지름의 제곱근에 비례합니다. 물방울(밀도 1000kg/m³) 지름별 계산값입니다.

매우 작은 물방울(안개·구름 입자 수준)은 이 식의 가정(속도 제곱 항력)이 맞지 않아 훨씬 느리게 떨어지고, 지름이 커지면 물방울이 납작하게 변해 Cd가 달라지므로 이 표는 규모 감을 잡는 용도입니다.

검산된 계산 예시

• 배쪽 자세: 70kg, Cd 1.0, A 0.45m² → v = √(2×70×9.8 ÷ (1.225×0.45×1.0)) = 49.9m/s (시속 180km).
• 낙하산 전개: 90kg, Cd 1.5, A 25m² → v = 6.20m/s (시속 22km).
• 질량 4배: 같은 자세에서 280kg이면 v = 99.8m/s로 정확히 2배가 됩니다(장비 포함 질량이 늘면 빨라지는 이유).

낙하 높이별 속도: 공기저항 무시 vs 반영

종단속도가 의미를 갖는 것은 충분히 높은 곳에서 떨어질 때뿐입니다. 항력이 속도 제곱에 비례하는 모델에서 높이 h만큼 떨어졌을 때의 속도는 v(h) = vt·√(1 − e^−2gh/vt²)로 주어지며, 공기저항을 무시하면 √(2gh)입니다. 아래는 배쪽 자세 프리셋(70kg, Cd 1.0, A 0.45m², 종단속도 약49.9m/s) 기준입니다.

10m에서는 두 값의 차이가 몇 % 수준이라 자유낙하 계산으로 충분하지만, 수백 m가 넘어가면 공기저항 반영값이 종단속도에 수렴하고 무시한 값은 계속 커집니다. "내 상황에 종단속도 계산이 필요한가"는 이 표의 차이가 허용 오차를 넘는지로 판단하세요.

질량이 커지면 얼마나 빨라지나

같은 자세(Cd 1.0, A 0.45m²)에서 질량만 바꾼 값입니다. 장비 무게가 더해질 때의 영향을 가늠할 수 있습니다.

50kg과 110kg은 질량이 2.2배 차이지만 종단속도는 약 1.5배(√2.2) 차이입니다. 같은 낙하 조건에서 가벼운 사람이 천천히 떨어지는 이유가 이 식에서 나오지만, 체격이 큰 사람은 단면적도 함께 커지므로 실제 차이는 이 표보다 작을 수 있습니다.

일상 물체로 감 잡기: 가정 기반 시나리오

아래는 모두 질량·지름·Cd를 가정한 어림 계산이며(공기밀도 1.225kg/m³, 속도 제곱 항력 모델), 실제 제품의 값과 다를 수 있습니다.

• 테니스공 정도: 질량 57g, 지름 6.7cm(단면적 약 0.0035m²), Cd 0.5로 가정하면 종단속도는 약 22.8m/s(시속 약 82km)입니다. 이 속도의 95%에 도달하는 데 약 4.3초, 약 62m가 필요해 건물 옥상에서 떨어뜨려도 몇 층 높이에서는 아직 종단속도에 못 미칩니다.
• 탁구공 정도: 질량 2.7g, 지름 4cm, Cd 0.47로 가정하면 약 8.6m/s(시속 약 31km)이고 95% 도달까지 약 1.6초, 낙하 거리는 약 9m입니다. 가벼운데 단면적이 상대적으로 커서 금방 한계 속도에 닿습니다.
• 낙하산 전개 상태(프리셋): 90kg, Cd 1.5, A 25m²이면 약 6.2m/s입니다. 95% 도달까지 약 1.2초, 약 4.6m라서 낙하산이 펼쳐진 뒤에는 비교적 짧은 시간에 감속이 끝나는 모델입니다. 실제 개폐 과정의 충격과 감속 시간은 이 모델에 포함되지 않습니다.

입력값 해석과 경계 동작

• 단위는 SI로 통일합니다. 질량은 kg, 단면적은 m²입니다. 단면적을 cm²로 넣으면 값이 1만 배 어긋나 종단속도가 100분의 1 수준으로 나옵니다(제곱근이므로).
• 0 이하와 빈칸은 계산하지 않습니다. 네 칸 중 하나라도 0보다 크지 않으면 결과 상자가 숨겨지고 오류 문구가 나옵니다. 입력 칸의 최소값 속성과 별개로 스크립트에서 다시 검사합니다.
• 95% 도달 시간과 거리는 같은 종단속도 모델에서 도출됩니다. t = (v/g)·atanh(0.95), 낙하 거리 = (v²/g)·ln cosh(gt/v)이며, 밀도가 낙하 내내 일정하다는 가정입니다.
• g는 9.8m/s²로 고정되어 있어 적도·극지방 차이나 다른 천체의 중력은 반영하지 않습니다.

흔한 실수와 한계

• 단면적은 겉넓이가 아니라 진행 방향에서 본 투영 면적입니다. 낙하산은 펼친 면적이 아니라 실제 투영 면적이 필요합니다.
• Cd는 속도와 모양에 따라 변하는 값이고, 입력한 하나의 값은 근삿값입니다. 특히 사람은 자세가 계속 변합니다.
• 공기밀도를 해수면 값으로 두면 높은 고도에서 시작하는 낙하의 속도를 과소평가합니다.
• 고속(음속에 가까운 속도)에서는 항력계수가 급변해 이 식이 맞지 않습니다.
• 이 결과는 안전 설계, 장비 선택, 낙하 실습의 판단 근거가 될 수 없는 학습용 추정치입니다.

결과 활용법

여러 자세를 비교할 때는 프리셋을 눌러 값을 바꿔 보고 Cd·A 곱의 변화가 속도에 어떻게 반영되는지 확인하세요. 가정이 맞는 상황을 확인하려면 95% 도달 거리가 실제 낙하 가능한 높이보다 짧은지 보면 됩니다. 그보다 낮은 높이에서 떨어지는 경우에는 종단속도보다공기저항을 무시한 자유낙하 계산이 더 직접적인 근사입니다. 속도 단위 환산은 속도 변환기를 쓰세요.

같이 보면 좋은 도구

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자주 묻는 질문