유명한 수학 상수 완전정복

한눈에 보기

수학 상수는 어떤 상황에서 계산하든 값이 바뀌지 않는 수입니다. 원의 크기가 달라도 둘레와 지름의 비는 같고, 이자를 아무리 잘게 쪼개 붙여도 어느 한계값을 넘지 못합니다. 이 글은 위 카드의 여섯 상수가 어디서 어떤 문제를 풀다가 나왔는지, 서로 어떤 성격(무리수·초월수·정의로 고정된 값)인지, 그리고 대중적으로 퍼진 이야기 중 무엇이 확인되고 무엇이 과장인지를 정리합니다.

• π, e, φ, √2는 모두 소수가 끝나지도 반복되지도 않는 무리수입니다. 이 중 π와 e는 한 걸음 더 나아가 초월수로 증명되었습니다.
• i는 측정값이 아니라 i² = -1이라는 약속으로 정의된 수입니다.
• 아보가드로수는 앞의 다섯과 성격이 달라서, 2019년부터는 측정 대상이 아니라 정의로 고정된 정확한 값입니다.
• 황금비가 파르테논 신전이나 모나리자에 쓰였다는 이야기는 널리 퍼졌지만, 실측 근거는 부족합니다.

상수들은 어디서 등장했나

원주율은 가장 오래된 상수입니다. 고대에는 대략 3을 쓰거나 이집트처럼 256/81(약 3.16)을 썼고, 아르키메데스(기원전 3세기)는 원에 내접·외접하는 정96각형의 둘레로 3 10/71 < π < 3 1/7 이라는 범위를 얻었습니다. 5세기 중국의 조충지는 3.141592까지 계산했습니다(위키백과 기준). 지금 쓰는 기호 e는 오일러가 1727~1728년경 쓰기 시작해 1736년 《메카니카》에서 정식 출판물에 처음 나타났고, 이 값을 찾아낸 계기는 야코프 베르누이의 복리 계산이었습니다(위키백과 기준).

2의 제곱근은 더 오래전 기록이 있습니다. 바빌로니아의 점토판 YBC 7289(기원전 1800~1600년경)에는 √2가 60진법으로 1;24,51,10으로 적혀 있는데 소수점 아래 여섯 자리 정도까지 맞습니다. 피타고라스 학파가 정사각형의 대각선과 변이 통약불가능하다는 것, 즉 √2가 무리수라는 것을 발견했다고 전해지지만, 발견 시기와 경위는 확실히 알려져 있지 않습니다. 히파소스가 이 사실을 누설해 살해되었다는 이야기도 있는데, 위키백과는 이 전설을 뒷받침하는 역사적 증거가 거의 없다고 정리합니다.

원리: 각 상수는 무엇을 말해 주는가

π: 크기와 상관없는 비율

π는 원의 둘레 ÷ 지름입니다. 지름이 10이면 둘레는 약 31.416, 지름이 100이면 약 314.16으로, 비율은 그대로입니다. 1761년 람베르트가 π가 무리수임을 증명했고, 1882년 린데만이 초월수임을 증명했습니다. 초월수라는 것은 유리수 계수 다항식의 해가 될 수 없다는 뜻이며, 이 결과로 자와 컴퍼스만으로 원과 넓이가 같은 정사각형을 그리는 ‘원적 문제’가 불가능하다는 것이 증명되었습니다.

e: 쪼개서 붙인 복리의 한계

e는 (1 + 1/n)ⁿ 에서 n을 한없이 키울 때 가까워지는 값입니다. 가상 예시로 보면, 연 100%라는 가상의 이율로 원금 100만 원을 맡겼을 때 이자를 1년에 한 번 붙이면 200만 원, 반년마다 붙이면 225만 원, 매달 붙이면 약 261만 3,035원, 매일 붙이면 약 271만 4,567원입니다. 횟수를 늘릴수록 커지지만 약 271만 8천 원(100만 원 × e)을 넘지 못합니다. 이 한계가 e입니다. 1873년 에르미트가 e가 초월수임을 증명했습니다. 오일러 공식에 x = π를 넣으면 e^(iπ) + 1 = 0 이라는 ‘오일러의 등식’이 얻어져, e, i, π가 한 식에 모입니다.

φ: 자기 닮은 비율

황금비는 (a+b)/a = a/b 를 만족하는 비로, 이차방정식 x² − x − 1 = 0 의 양의 근 (1+√5)/2 ≈ 1.618입니다. 정오각형의 한 변과 대각선의 비가 황금비이고, 피보나치 수열(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …)에서 이웃한 두 항의 비가 이 값에 가까워집니다. 실제로 계산하면 8/5 = 1.6, 13/8 = 1.625, 144/89 ≈ 1.61798, 377/233 ≈ 1.61803으로 좁혀집니다.

i: 제곱해서 -1인 수

실수는 제곱하면 0 이상이므로 i² = -1을 만족하는 실수는 없습니다. 그래서 새 수를 약속으로 도입한 것이 허수 단위입니다. ‘허수(imaginary)’라는 이름은 데카르트가 붙였다고 보는 것이 일반적이며 뉴턴도 1670년경 이 말을 썼고, 기호 i는 오일러가 도입했습니다(위키백과 기준). 전기공학에서는 i가 전류를 나타내므로 허수 단위를 j로 씁니다. 분야에 따라 기호가 다를 뿐 같은 수입니다.

Nₐ: 세기 위한 묶음 단위

아보가드로수는 1몰에 들어 있는 입자의 수입니다. ‘아보가드로수’라는 이름은 1909년 장 페랭이 붙였고, 2019년 5월 20일 SI 단위계 개정으로 정확히 6.02214076×10²³ /mol 로 고정되었습니다. 그 전에는 탄소-12 12 g에 든 원자 수로 정의했기 때문에 실험으로 측정해야 하는 값이었습니다.

상수 한눈에 비교

실제 사례 세 가지

사례 1. 원주율 계산 기록은 어떻게 늘어났나

1873년 샹크스는 707자리까지 계산했지만 이후 528자리까지만 맞았다는 사실이 밝혀졌습니다. 1949년에는 컴퓨터가 약 70시간 만에 2,037자리를 계산했고, 2005년 도쿄대의 가네다 야스마사가 약 1조 자리를 넘겼으며, 2016년에는 페터 트뤼프가 약 22조 자리를 계산했습니다(위키백과 기준). 위키백과 연표에는 2023년 4월 100조 자리, 2025년 11월 23일 314조 자리 기록이 올라와 있습니다. 2009년 12월 이후 기록은 모두 추드놉스키 알고리즘으로 계산했다고 하며, 이 계열 알고리즘의 바탕에는 1910년 라마누잔이 찾은 빠르게 수렴하는 급수가 있습니다. 여기서 배울 점은 자릿수 경쟁의 의미입니다. 실생활에는 수십 자리면 충분하고, 이런 계산은 주로 컴퓨터 성능과 알고리즘을 시험하는 의미가 크다고 보는 것이 일반적입니다.

사례 2. A4 용지에 숨은 √2

1786년 리히텐베르크는 긴 변이 짧은 변의 √2배인 종이를 반으로 접으면 접은 조각의 비율이 원래와 같다는 점을 관찰했습니다. 독일이 20세기 초 이 비율을 A 시리즈 용지에 채택했고, 지금은 ISO 216이 이를 규정합니다. A0는 1189 mm × 841 mm입니다(위키백과 기준). 1189 ÷ 841 ≈ 1.4138이고, A4(210 × 297 mm)의 비는 약 1.4143으로 √2 = 1.41421에 반올림된 mm 단위 크기만큼 가깝습니다. 그래서 A3를 A4로 줄여도 비율이 유지됩니다. 용지 크기는 용지 규격 가이드에서 더 볼 수 있습니다.

사례 3. 아보가드로수의 재정의(2019)

2019년 5월 20일 이전에는 몰을 ‘탄소-12 12 g 속 원자 수’로 정의했기 때문에 아보가드로수는 실험으로 재야 하는 값이었고 정밀도에 한계가 있었습니다. 개정 이후에는 아보가드로수가 정확히 6.02214076×10²³으로 고정되고, 몰은 그만큼의 입자를 가진 양으로 정의됩니다. 정의 방식이 바뀌면 상수가 ‘측정값’에서 ‘약속된 값’으로 바뀔 수 있다는 점이 이 사례의 요점입니다.

직접 해보기

• 계산기로 (1 + 1/n)ⁿ 에 n = 1, 10, 100, 1000을 차례로 넣어 보세요. 2, 2.5937…, 2.7048…, 2.7169…처럼 e에 서서히 다가가는 모습이 보입니다.
• 피보나치 수 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34를 적고 이웃한 수끼리 나눠 보세요. 비율이 1.6 근처에서 오르내리다 점점 1.618에 모입니다.
• A4 용지의 긴 변 ÷ 짧은 변을 재 보세요. 반으로 접은 뒤에도 거의 같은 값(약 1.41)이 나옵니다.
• 황금비를 직접 다루고 싶다면 황금비 계산기를 이용할 수 있습니다.

흔한 오해와 정정

• 오해: 원주율은 3.14다. 실제: 3.14는 어림값입니다. π는 무리수여서 소수로 정확히 다 쓸 수 없습니다.
• 오해: 파르테논 신전과 모나리자는 황금비로 설계되었다. 실제: 키스 데블린은 파르테논의 황금비 주장이 실제 측정으로 뒷받침되지 않는다고 말하고, 모나리자가 황금비를 썼다는 주장도 레오나르도의 글에서 근거를 찾을 수 없다고 정리됩니다(위키백과 기준).
• 오해: 파치올리가 황금비의 아름다움을 설파했다. 실제: 마리오 리비오는 이 해석이 1799년의 오류에서 비롯되었고 파치올리는 비트루비우스식 정수 비례를 옹호했다고 주장합니다(위키백과 기준).
• 오해: 허수는 실제로 존재하지 않는 쓸모없는 수다. 실제: 이름은 역사적 사정으로 붙었을 뿐이며, 전기공학 등에서 계산 도구로 쓰입니다.
• 오해: 앵무조개 껍데기는 황금나선이다. 실제: 껍데기가 로그 나선이라는 사실이 황금비와의 연관을 보장하지 않으며, 측정으로도 뒷받침되지 않는다는 것이 위키백과의 정리입니다.

한계와 논쟁

황금비에 대한 미적 선호는 1876년경 페히너가 직사각형 선호 실험으로 제기했지만, 이후 신중한 실험에서는 결과가 기껏해야 불확실했다고 정리됩니다. 잎이 줄기에 돌려나는 각도에서 황금각(약 137.5°)이 나타나는 것처럼 비교적 근거가 있는 사례도 있지만, 손가락뼈나 동물의 몸 비율에서 황금비를 찾는 주장은 개체 차이가 커서 상당수가 허구로 간주됩니다. √2의 무리성을 처음 발견한 사람과 경위, 유클리드 《원론》에 실린 증명이 유클리드 본인의 것인지(19세기 초 이후 후대 삽입으로 보는 시각이 있음)도 확정적이지 않습니다. 이 글의 연표와 연도는 위키백과 기준이므로, 정밀한 인용이 필요하면 원 문헌을 확인하세요.

수의 종류가 궁금하다면

자연수, 무리수, 허수 등 수 자체의 종류가 궁금하다면 수(數)의 종류 완전정복도 확인해보세요. 도형 공식은 기본 도형 공식 가이드, 복리의 실제 효과는 복리의 힘 가이드, 몰 개념은 몰농도 가이드에서 이어서 볼 수 있습니다.

자주 묻는 질문