사다리타기

사다리타기는 이럴 때 씁니다

참가자 수만큼의 결과 칸(당첨, 꽝, 벌칙, 순번 등)을 참가자에게 하나씩 겹치지 않게 나눠 줄 때 쓰는 방식입니다. 커피 내기처럼 한 명만 걸리는 경우, 발표 순서처럼 1번부터 N번까지 모두 다른 값을 줘야 하는 경우 모두 같은 구조로 처리됩니다. 이 도구는 입력한 이름과 결과로 사다리를 그리고, 이름을 누르면 위에서 아래로 내려가는 경로를 보여 줍니다. 입력값과 결과는 서버로 보내거나 브라우저에 저장하지 않아서 새로고침하면 모두 사라집니다.

사다리가 항상 일대일로 맞는 이유

사다리의 가로선 하나는 이웃한 두 세로줄의 위치를 서로 바꾸는 동작입니다. 위에서 아래로 가로선을 지날 때마다 그 줄에 서 있는 두 사람이 자리를 맞바꾼다고 생각하면 됩니다. 교환은 되돌릴 수 있는 동작이므로, 여러 번 교환한 결과도 되돌릴 수 있고, 따라서 서로 다른 두 사람이 같은 칸에 도착하거나 어느 칸이 비는 일이 생기지 않습니다. 수학 용어로는 가로선들의 합성이 순열(전단사 함수)이 된다고 말합니다. 같은 높이에서 가로선이 서로 이웃한 세로줄을 공유하지 않도록 놓는 것이 이 성질을 지키는 조건입니다.

한 가지 더 알려진 성질이 있습니다. 가로선 하나는 교환 한 번이므로, 가로선 전체 개수가 짝수이면 최종 배치는 짝수 순열, 홀수이면 홀수 순열입니다. 그래서 가로선이 하나도 없거나 짝수 개로 원래 순서가 그대로 돌아오는 경우는 있어도, 가로선이 홀수 개이면서 모든 사람이 자기 세로줄 바로 아래에 도착하는 일은 불가능합니다.

인원별 가능한 배정의 수

8명이면 모든 사람이 서로 다른 결과를 받는 방법이 40,320가지입니다. 사다리는 이 중 하나를 시각적으로 뽑아 주는 장치입니다.

예시 1: 4명, 가로선 8개를 직접 따라가기

세로줄 0~3번(왼쪽부터)에 소라, 현우, 다은, 준기 순으로 서 있고, 결과 칸은 왼쪽부터 설거지, 통과, 통과, 커피입니다. 가로선이 8개인 사다리를 node로 추적해 계산한 경로입니다. 표의 숫자는 한 줄을 내려갈 때마다 서 있는 세로줄 번호입니다.

도착 칸이 1, 3, 2, 0번으로 겹치지 않으므로 일대일 대응이 확인됩니다. 가로선 8개는 짝수이고, 이 배치(0→1, 1→3, 3→0, 2는 제자리)는 세 사람이 돌려 앉은 짝수 순열이라 앞의 성질과도 맞습니다. 같은 방식으로 임의의 사다리 14만 개(참가자 2~8명 각 2만 개, 줄 수 20, 가로선 확률 35%)를 무작위로 만들어 모두 일대일로 도착하는지 확인했을 때 어긋난 경우는 없었습니다.

예시 2: 3명, 가로선 3개로 순서가 통째로 뒤집히는 경우

세 줄 사이에 왼쪽-오른쪽-왼쪽 순으로 가로선 3개만 있어도 0번은 2번, 1번은 1번, 2번은 0번으로 도착해 순서가 완전히 뒤집힙니다. 가로선이 적다고 결과가 덜 섞이는 것은 아니며, 가로선의 위치가 어떻게 겹치는지가 결과를 정합니다.

가로선만 무작위로 놓으면 칸별 확률이 같지 않다

"일대일"과 "확률이 같다"는 다른 이야기입니다. 가로선을 일정 확률로 무작위 배치한 사다리는 출발 줄 근처에 도착할 확률이 약간 더 높은 경향이 있습니다. 가로선 확률 35%, 20줄, 왼쪽부터 순서대로 놓는 방식에서 4명일 때의 도착 칸 분포를 정확히 계산한 값은 아래와 같습니다(단위 %, 빌드 시 계산).

0번 출발이 0번 칸에 도착할 확률이 26.4%, 3번 칸에는 23.5%로 완전한 25%와 차이가 납니다. 이 도구는 이 편차를 없애기 위해 결과 문구를 맨 아래 칸에 배정할 때 무작위로 섞는 방식을 쓰므로, 누가 어떤 결과를 받을 확률은 모두 같습니다. 사다리 모양은 경로를 눈으로 따라가는 연출이고, 도착 칸은 항상 일대일입니다.

인원별 가로선이 놓일 확률

이 도구는 각 줄에서 가장 왼쪽 자리부터 오른쪽으로 훑으며 35% 확률로 가로선을 놓고, 놓았다면 바로 옆 자리를 건너뛰어 같은 높이에서 이웃한 가로선이 겹치지 않게 합니다. 그래서 자리마다 확률이 완전히 같지는 않습니다. 첫 자리는 정확히 35%이고 둘째 자리는 앞 자리에 가로선이 없을 때만 놓을 수 있어 22.75%(0.65 × 0.35)입니다. 아래는 이 규칙을 전부 나열해 계산한 값이며, 한 줄에 놓이는 가로선의 기대 개수와 20줄 전체의 기대 개수도 함께 적었습니다.

기대 개수는 평균일 뿐 실제 사다리는 매번 달라집니다. 이 숫자는 사다리가 얼마나 촘촘한지 가늠하는 용도이고, 누가 어떤 결과를 받는지의 확률과는 별개입니다.

예시 3: 5명이 발표 순서를 정하는 경우

가람, 나래, 다온, 라온, 마루 다섯 명이 결과 칸 1번~5번 순서표를 나눠 갖는 상황입니다. 아래는 가로선 10개짜리 사다리를 빌드 시 추적한 표이며, 숫자는 줄을 내려갈 때마다 서 있는 세로줄 번호(0~4)입니다. 맨 아래 칸에 순번이 이미 섞여 배정되어 있다고 보면, 도착 칸에 적힌 순번이 그 사람의 발표 순서가 됩니다.

도착 칸이 4, 1, 3, 2, 0번으로 모두 다르므로 발표 순서가 겹치지 않습니다. 순번 같은 값은 사람마다 한 개씩만 필요하기 때문에 이런 일대일 구조가 잘 맞습니다.

"걸리는 칸"이 한 개일 때 내 확률은

결과 문구 중 "커피 사기"가 한 개뿐이면, 결과를 맨 아래 칸에 균등하게 섞기 때문에 참가자 한 사람이 그 결과를 받을 확률은 1/n입니다. 여러 판을 하면 누적 확률이 올라가는데, 이는 단순히 매 판 걸리지 않을 확률 (1 − 1/n)을 판 수만큼 곱해 1에서 뺀 값입니다. 판마다 사다리와 결과 배정을 새로 만드므로 이전 판이 다음 판에 영향을 주지 않습니다.

예를 들어 4명이 3판을 하면 특정 한 사람이 최소 한 번 걸릴 확률은 약 57.8%이고, 같은 사람이 3판 연속으로 걸릴 확률은 (1/4)³ ≈ 1.6%입니다. 한 번 걸린 사람이 다음 판에는 덜 걸린다는 보정은 없습니다. 연속으로 걸려도 조작이 아니라 우연의 범위일 수 있습니다.

화면 구성과 조작에서 알아둘 점

• 사다리 크기. 세로줄 간격은 100px, 가로선이 놓일 수 있는 줄 수는 20줄(줄 간격 36px) 고정입니다. 8명이면 사다리 폭이 820px로 휴대폰 화면보다 넓어서 가로로 밀어서 봐야 합니다. 결과 칸은 사다리 아래쪽에 놓이므로 스크롤 위치에 유의하세요.
• 이름을 누를 때마다. 누른 사람의 경로만 굵게 표시되고, 그 사람의 도착 칸이 공개됩니다. 한번 공개된 칸은 다른 이름을 눌러도 계속 열려 있습니다. 아래 결과 목록은 누른 순서가 아니라 참가자 입력 순서로 정렬됩니다.
• 결과 숨김 체크를 껐다 켜도 사다리 모양과 결과 배정은 바뀌지 않고 표시만 바뀝니다. 새 배정을 원하면 "사다리 다시 그리기"를 눌러야 합니다.
• 복사 버튼. 이미 공개된 결과만 이름 → 결과 형식으로 복사합니다. 공개한 것이 없으면 안내 문구만 나옵니다.
• 입력 정리. 각 줄 앞뒤 공백은 지워지고 빈 줄은 무시되므로, 줄 사이에 빈 줄을 섞어도 인원 수에 포함되지 않습니다.

사용 방법

1. 참가자와 결과를 한 줄에 하나씩 입력합니다. 두 목록의 줄 수가 같아야 하고 2~8명까지 지원합니다.
2. 결과를 미리 보여 줄지 정한 뒤 "사다리 만들기"를 누릅니다. 결과를 숨기면 도착한 칸만 열립니다.
3. 이름을 눌러 경로를 따라가면 그 사람의 결과가 공개됩니다. 모두 확인하려면 "전체 결과 보기"를 누릅니다.
4. 다시 하려면 "사다리 다시 그리기"를 누릅니다. 가로선과 결과 배정이 새로 만들어집니다.

흔한 실수와 한계

• 결과를 공개한 상태로 시작하면 참가자가 원하는 칸을 보고 출발 줄을 고를 수 있습니다. 가로선이 보여도 경로를 눈으로 추적하는 것은 어렵지 않으므로, 내기에는 결과를 숨기는 편이 공정합니다.
• 같은 이름이나 같은 결과가 중복되어도 동작하지만, 중복된 이름은 화면에서 구분이 어려우니 번호를 붙이세요.
• 난수는 브라우저의 Math.random이며 보안용 난수가 아닙니다. 친구들끼리의 내기에는 충분하지만 경품 추첨처럼 증빙이 필요한 곳에는 적합하지 않습니다.
• 참가자 수와 결과 수가 다르면 만들어지지 않습니다. 결과 칸에 빈 줄이 섞이면 줄 수가 틀어질 수 있으니 확인하세요.
• 화면 캡처를 공유할 때는 결과를 숨긴 상태인지, 공개된 경로가 어디까지인지 먼저 확인하세요.

결과를 활용하는 방법

한 사람만 걸리는 내기라면 결과 칸에 "커피"와 "통과"를 섞어 입력하면 됩니다. 발표 순서를 정할 때는 결과에 1번, 2번, 3번처럼 순번을 적으세요. 역할 분담에는 결과에 맡을 일을 적고, 사람 수와 일의 수가 다르면 "휴식" 같은 칸으로 채웁니다. 여러 번 반복할 때는 같은 사다리를 재사용하지 말고 매번 다시 그리는 것이 좋습니다.

자주 묻는 질문

함께 쓰기 좋은 도구

• 랜덤 추첨기 - 여러 사람 중 한 명을 뽑을 때
• 팀 나누기 - 인원을 무작위로 팀으로 나눌 때
• 자리 배치표 생성기 - 자리 순서를 섞을 때
• 랜덤 숫자 생성기 - 번호 하나를 뽑을 때