케플러가 쓴 자료로 직접 확인하는 제3법칙
위키백과에는 케플러가 1618년 무렵 사용한 평균 거리(AU)와 공전주기(일)가 실려 있습니다. 주기를 365.25일로 나누어 년으로 바꾼 뒤 T²/a³ 값을 직접 계산한 것이 아래 표입니다(node로 검산했습니다). 행성마다 값이 정확히 1은 아니지만 모두 1에 가깝다는 점이 중요합니다.
| 행성 | 평균 거리 a(AU) | 공전주기 T(일) | T(년) | T²/a³ |
|---|---|---|---|---|
| 수성 | 0.389 | 87.77 | 0.240 | 0.981 |
| 금성 | 0.724 | 224.70 | 0.615 | 0.997 |
| 지구 | 1 | 365.25 | 1.000 | 1.000 |
| 화성 | 1.524 | 686.95 | 1.881 | 0.999 |
| 목성 | 5.20 | 4332.62 | 11.862 | 1.001 |
| 토성 | 9.510 | 10759.2 | 29.457 | 1.009 |
수성과 토성에서 1에서 조금 더 벗어나는 것은 17세기 초 자료의 정밀도 한계가 반영된 것으로 볼 수 있습니다. 같은 비율이 여섯 행성에서 거의 같게 나온다는 사실이 "멀수록 주기가 길어지는 규칙"의 증거였습니다. 뉴턴 역학으로 쓰면 T = 2π√(a³/μ) 꼴이 되며(μ는 중심 천체의 중력 상수와 질량의 곱), 중심 천체가 달라지면 비례상수가 달라지는 이유도 여기서 나옵니다.
이웃 개념과의 비교
| 구분 | 고대의 원운동 모형 | 케플러의 법칙 | 뉴턴 역학 |
|---|---|---|---|
| 궤도 모양 | 원과 주전원의 조합 | 타원(태양은 한 초점) | 중력 아래에서 원뿔곡선(타원 등)이 나옴 |
| 속도 | 일정한 속도를 가정하려 함 | 가까우면 빠르고 멀면 느림 | 힘과 가속도로 설명 |
| 성격 | 현상을 맞추는 모형 | 관측에서 찾은 경험 법칙 | 원인(힘)을 제시하는 이론 |
실제 사례 세 가지
사례 1. 핼리 혜성: 타원 궤도로 돌아오는 시간을 예측하다 (1758년)
에드먼드 핼리는 《혜성 천문학 개요》에서 1531년, 1607년, 1682년의 혜성이 같은 천체라고 결론짓고 1758년 귀환을 예측했습니다(위키백과 기준). 그는 뉴턴의 친구이자 《프린키피아》 출판을 도운 사람으로, 목성과 토성의 중력이 혜성 궤도에 미치는 영향도 대략 계산했습니다. 핼리는 1742년에 세상을 떠나 돌아온 혜성을 보지 못했고, 1758년 12월 25일 독일의 아마추어 천문가 요한 게오르크 팔리치가 먼저 혜성을 발견했습니다. 현재 값으로 근일점은 약 0.593AU, 원일점은 약 35.14AU이므로 장반경은 약 17.87AU입니다. 제3법칙에 넣으면 T = 17.87^1.5 ≈ 75.5년으로, 알려진 평균 주기 약 74.7년(74~80년 사이에서 변함)과 가깝습니다. 배울 점은 제3법칙이 행성뿐 아니라 극단적으로 길쭉한 타원(이심률 약 0.967)에도 적용된다는 것, 그리고 다른 행성의 중력 때문에 실제 주기가 매번 조금씩 달라진다는 것입니다.
사례 2. 정지궤도 위성: 하루에 한 바퀴 도는 고도 (1945년 구상, 1964년 실현)
아서 C. 클라크는 1945년 《와이어리스 월드》에 로켓 정거장으로 전 세계에 전파를 중계하는 구상을 실었습니다. 지구 자전과 같은 주기로 도는 궤도라면 위성이 하늘의 한 점에 멈춘 것처럼 보이기 때문입니다. 최초의 정지궤도 위성은 1964년의 신콤 3호로 기록되어 있고, 1963년의 신콤 2호는 정지궤도에 가까웠지만 궤도가 기울어져 안테나를 움직여야 했다고 합니다(위키백과 기준). 직접 계산해 볼 수 있습니다. 항성일 약 86,164초를 주기로 놓고 지구의 GM(약 3.986×10¹⁴ m³/s²)을 쓰면 a = (GM·T²/4π²)^(1/3) ≈ 42,164km가 나오고, 적도 반지름 6,378km를 빼면 고도는 약 35,786km입니다. 위키백과가 제시하는 값과 일치합니다. 이 계산이 보여 주는 것은 궤도 반지름이 정해지면 주기도 자동으로 정해진다는 점입니다. 주기와 고도를 따로 고를 수 없습니다.
사례 3. 지구의 근일점: 거리 차이는 3%인데 왜 계절은 다를까 (현재의 사례)
NASA 지구 자료에 따르면 지구의 근일점 거리는 약 1억 4,710만 km, 원일점 거리는 약 1억 5,210만 km입니다. 차이는 약 500만 km로 평균 거리(약 1억 4,960만 km)의 3% 남짓입니다. 그런데 근일점은 1월 초 무렵이고, 북반구는 그때 겨울입니다. 제2법칙에 따라 지구는 1월에 가장 빠르게 움직이지만, 계절을 결정하는 것은 거리가 아니라 자전축의 기울기입니다. 이 사례는 "태양과 가까우면 덥다"는 직관이 왜 틀리는지를 케플러의 법칙으로 확인해 줍니다. 계절의 원리는 계절이 생기는 이유에서 이어서 볼 수 있습니다.
직접 해보기: 종이 한 장으로 타원 그리기
- 타원 그리기: 종이에 압정 두 개를 꽂고 느슨한 실의 양 끝을 묶어 연필로 팽팽하게 당기며 한 바퀴 돌립니다. 두 압정이 초점이고 태양은 그중 한 곳에 있다고 생각하면 됩니다. 압정 사이를 좁히면 원에 가까워집니다.
- 제3법칙 계산: 평균 거리 a(AU)를 알면 T = a^1.5(년)로 주기를 어림합니다. 표의 화성은 1.524^1.5 ≈ 1.88년입니다.
- 거꾸로 거리 구하기: 주기를 알면 a = T^(2/3)입니다. 주기가 75년이면 a ≈ 17.8AU입니다.
흔한 오해와 정정
- 오해: 행성 궤도는 심하게 찌그러진 타원이다. 실제: 지구 궤도의 이심률은 약 0.0167로 원에 아주 가깝습니다. 교과서 그림은 이해를 위해 과장한 것입니다.
- 오해: 태양은 타원의 중심에 있다. 실제: 태양은 두 초점 중 한 곳에 있습니다.
- 오해: 지구가 태양에 가까운 때가 여름이다. 실제: 지구는 1월 초에 근일점을 지납니다. 계절은 자전축 기울기 때문입니다.
- 오해: 케플러가 중력을 발견했다. 실제: 케플러는 운동의 규칙을 찾았고, 그 원인을 중력으로 설명한 것은 1687년 뉴턴의 《프린키피아》입니다.
한계와 더 알아볼 점
세 법칙은 "중심 천체와 행성 둘만 있는" 단순한 상황에서 정확합니다. 실제 태양계에서는 행성끼리의 중력(섭동)이 있어 궤도가 조금씩 달라지고, 핼리 혜성의 주기가 74~80년 사이에서 변하는 것도 그런 영향의 하나입니다. 또 위 표의 값은 17세기 초 자료여서 오늘날 측정값과 차이가 있습니다. 정밀한 궤도 요소가 필요하면 NASA나 한국천문연구원의 최신 자료를 확인하세요.
뉴턴의 운동법칙과 함께 보면 더 잘 이해됩니다
케플러의 법칙이 "어떻게" 행성이 움직이는지를 설명한다면, 뉴턴의 법칙은 "왜" 그렇게 움직이는지를 설명합니다. 힘과 가속도의 관계가 궁금하다면 뉴턴 운동법칙 3가지 이해하기도 함께 확인해보세요.
자주 묻는 질문
모든 행성의 궤도가 눈에 띄게 찌그러진 타원인가요?
아닙니다. 지구나 금성처럼 궤도 이심률이 작은 행성은 거의 원에 가까운 타원을 그리는 반면, 수성처럼 이심률이 큰 행성은 눈에 띄게 찌그러진 타원 궤도를 그립니다. 혜성 중에는 이심률이 매우 커서 극단적으로 길쭉한 타원 궤도를 도는 경우도 있습니다.
조화의 법칙 공식은 실제로 어떻게 쓰이나요?
T²∝a³ 공식에서 공전주기(T)를 년 단위로, 궤도 장반경(a)을 AU(천문단위) 단위로 놓으면 비례상수가 1이 되어 T²=a³로 간단히 계산할 수 있습니다. 예를 들어 화성은 태양으로부터 평균 약 1.52AU 떨어져 있어 1.52³ ≈ 3.51의 제곱근인 약 1.87년이 공전주기로 계산되며, 이는 실제 관측값과 거의 일치합니다.
케플러의 법칙은 달이나 인공위성에도 적용되나요?
네. 하나의 큰 천체 둘레를 작은 천체가 도는 상황이라면 같은 형태로 쓸 수 있습니다. 다만 비례상수는 중심 천체에 따라 달라서, 태양 둘레용 값(T²=a³, 단위는 년·AU)을 지구 둘레 위성에 그대로 쓰면 안 됩니다.
근일점에서 빠르다면 지구의 1년 길이도 달라지나요?
한 바퀴를 도는 시간은 변하지 않습니다. 제2법칙은 한 바퀴 안에서 구간별 속도가 다르다는 뜻이고, 가까운 구간에서 빠르게 지나가는 만큼 먼 구간에서 느리게 지나가 같은 시간에 쓸고 가는 넓이가 같아집니다.
케플러는 처음부터 타원을 생각했나요?
아닙니다. 케플러도 처음에는 원에 가까운 모형을 시도했고, 관측과 8분각 차이가 나는 것을 확인한 뒤에야 원 궤도를 버렸다고 전해집니다. 제2법칙을 제1법칙보다 먼저 찾았다는 점도 흥미로운 대목입니다.
이심률이 크면 근일점과 원일점의 속도 차이는 얼마나 나나요?
이심률 e일 때 근일점 속도는 원일점 속도의 (1+e)/(1-e)배입니다. 핼리 혜성(e≈0.967)은 약 59배, 지구(e≈0.0167)는 약 1.03배입니다.