한눈에 보기
이 게임은 컴퓨터가 정한 4칸짜리 색 코드를 힌트만으로 맞히는 추리 게임으로, 보드게임 마스터마인드와 같은 형식입니다. 힌트의 계산 규칙, 가능한 코드 수, 첫 추측의 효율, 간단한 전략의 성능을 숫자로 확인하며, 게임이 어떻게 생겼고 학자들이 이 게임을 어떻게 연구했는지도 함께 설명합니다.
- 색 6가지, 4칸, 중복 허용이라 비밀 코드는 모두 1,296가지입니다.
- 힌트는 ●(색·위치 일치)와 ○(색만 일치) 두 종류이며, 계산은 두 단계입니다.
- 첫 추측은 여러 색을 섞을수록 정보가 많습니다.
- 과거 힌트를 매번 검산하면 헛추측이 줄어듭니다.
이 게임은 어디서 왔나
(위키백과 기준) 마스터마인드는 이스라엘의 우체국장이자 통신 전문가였던 모르데카이 메이로위츠가 1970년에 고안했습니다. 영국 레스터의 인빅타 플라스틱스가 권리를 사들여 1971~72년 무렵 제품으로 내놓았고, 1971년부터 이 회사가 권리를 가지고 있습니다. 이 페이지는 해당 상표나 제품과 무관한 독립적인 구현입니다. 같은 형식의 코드 추리 게임이라 규칙이 같을 뿐입니다.
게임 규칙과 이 페이지의 설정
컴퓨터가 6가지 색(빨강·주황·노랑·초록·파랑·보라) 중에서 4개를 골라 비밀 코드를 정합니다.같은 색이 두 번 이상 쓰일 수도 있습니다. 여러분이 색 4개를 순서대로 선택해 제출하면 두 가지 힌트가 돌아옵니다.
- ●(정확): 색과 위치가 모두 맞은 개수
- ○(색만): 색은 비밀 코드에 있지만 위치가 틀린 개수
이 페이지의 설정은 코드 길이 4칸, 색 6가지, 기회 10번입니다. 비밀 코드는 새 게임을 시작할 때 브라우저의Math.random()으로 칸마다 6가지 색 중 하나를 독립적으로 뽑아 만들며, 암호나 보안 용도의 난수가 아닙니다. 점수·최고 기록은 저장하지 않고 페이지를 닫으면 진행 상황도 사라집니다. 기회를 다 쓰면 정답이 공개됩니다.
힌트는 이렇게 계산됩니다
힌트 계산은 두 단계입니다. 먼저 같은 칸의 색이 같은 것을 모두 세어 ●로 확정합니다. 그다음 ●로 쓰이지 않고 남은 비밀 코드 색과 남은 추측 색을 비교해, 색별로 두 쪽의 남은 개수 중 작은 값만큼 ○를 줍니다. 한 번 ●나 ○에 쓰인 칸은 다시 세지 않으므로, 같은 색을 여러 번 제출해도 비밀 코드에 있는 개수 이상으로 힌트가 늘지 않습니다.
| 비밀 코드 | 제출한 추측 | 힌트 | 해설 |
|---|---|---|---|
| 빨강-빨강-초록-파랑 | 빨강-초록-초록-노랑 | ●2 ○0 | 1·3번째 칸이 일치. 남는 비밀 색은 빨강·파랑, 남는 추측 색은 초록·노랑이라 겹치는 색이 없습니다. |
| 빨강-빨강-초록-파랑 | 초록-빨강-빨강-빨강 | ●1 ○2 | 2번째 칸(빨강)만 정확. 남은 비밀 색은 빨강·초록·파랑, 남은 추측 색은 초록·빨강·빨강이므로 초록 1개, 빨강 1개만 ○가 됩니다(남은 빨강 하나는 비밀 코드에 짝이 없음). |
| 빨강-파랑-파랑-초록 | 파랑-파랑-파랑-파랑 | ●2 ○0 | 파랑을 4번 냈지만 비밀 코드의 파랑은 2개이고 둘 다 위치가 맞아 ●2로 끝납니다. 같은 색을 반복하면 그 색의 개수를 확인하는 도구가 됩니다. |
경우의 수: 비밀 코드는 몇 가지일까
칸마다 6가지 색을 고를 수 있고 중복이 허용되므로 가능한 비밀 코드는 6×6×6×6 = 1,296가지입니다. 서로 다른 숫자만 쓰는 숫자 야구와 달리 색이 겹치는 코드가 전체의 대부분을 차지합니다. 아래 표는 중복 모양별 코드 수입니다.
| 코드 모양 | 코드 수 | 전체 대비 |
|---|---|---|
| 4개 모두 다른 색 | 360 | 27.8% |
| 같은 색 한 쌍 + 다른 두 색 | 720 | 55.6% |
| 두 색이 각각 두 번 | 90 | 6.9% |
| 한 색 세 번 + 다른 색 한 번 | 120 | 9.3% |
| 한 색 네 번 | 6 | 0.5% |
힌트로 나올 수 있는 (●, ○) 조합은 ●+○가 4 이하인 15가지에서 "●3 ○1"을 뺀 14가지입니다. ●가 3개면 나머지 한 칸은 색이 다르거나 같은 색이어서 ○가 1이 될 수 없기 때문입니다. 한 번의 추측이 가를 수 있는 가짓수의 한계가 14라는 뜻이기도 합니다.
첫 추측은 어떤 모양이 좋을까
1,296개 코드를 모두 넣고 힌트별로 몇 개씩 나뉘는지 세어 비교했습니다. "최악의 경우"는 가장 큰 묶음의 코드 수(힌트를 받은 뒤 남을 수 있는 후보의 최대치), "평균 후보 수"는 비밀 코드가 무작위일 때 힌트를 받은 뒤 남는 후보 수의 기댓값입니다. 값이 작을수록 첫 추측이 정보를 많이 주는 셈입니다.
| 첫 추측 모양 | 나올 수 있는 힌트 종류 | 최악의 경우 남는 후보 | 평균 후보 수 |
|---|---|---|---|
| 4색 모두 다르게 (빨강-주황-노랑-초록) | 14 | 312 | 188.2 |
| 두 색 두 번씩 (빨강-빨강-주황-주황) | 13 | 256 | 204.5 |
| 한 쌍 + 두 색 (빨강-빨강-주황-노랑) | 14 | 276 | 185.3 |
| 한 색 세 번 (빨강-빨강-빨강-주황) | 11 | 317 | 235.9 |
| 한 색 네 번 (빨강-빨강-빨강-빨강) | 5 | 625 | 512.0 |
표에서 보듯 한 색만 반복하면 힌트가 5종류뿐이라 정보가 적습니다. 반대로 서로 다른 색 4개를 쓰는 추측이나 두 색을 두 번씩 쓰는 추측은 후보를 200 안팎으로 줄입니다. 도널드 커누스가 1976년 발표한 논문으로 6색 4칸 마스터마인드 형식의 게임을 최악의 경우에도 5번 안에 풀 수 있는 전략을 제시한 것으로 소개되는데, 이 페이지의 10번은 사람이 중복 색을 활용해 차분히 추리하기에 넉넉한 기회입니다.
단순한 전략으로도 충분할까: 전수 시뮬레이션
사람이 쓰기 쉬운 전략 하나를 정해 1,296개 비밀 코드 모두에 대해 돌려 보았습니다. 규칙은 두 가지입니다. 첫 추측은 빨강-빨강-주황-주황으로 고정하고, 이후에는 지금까지 받은 모든 힌트와 모순되지 않는 코드 중 색 번호(빨강→보라) 순서로 가장 앞선 것을 냅니다. 모순되지 않는다는 것은 "그 코드가 정답이라면 지금까지의 추측들이 정확히 그 힌트를 받았을 것"이라는 뜻입니다.
| 맞히는 데 걸린 시도 | 코드 수 | 비율 |
|---|---|---|
| 1번 | 1 | 0.1% |
| 2번 | 12 | 0.9% |
| 3번 | 71 | 5.5% |
| 4번 | 253 | 19.5% |
| 5번 | 588 | 45.4% |
| 6번 | 286 | 22.1% |
| 7번 | 78 | 6.0% |
| 8번 | 7 | 0.5% |
이 전략의 최대 시도는 8번, 평균은 5.02번으로, 어떤 비밀 코드도 기회 10번을 넘기지 않았습니다. 즉 이 전략을 그대로 따르면 10번 안에 항상 풀립니다. 다만 위 숫자는 이 특정 전략의 결과이며 사람이 머릿속으로 후보를 정확히 추려 가는 것은 훨씬 어렵습니다.
다음은 비밀 코드가 초록-빨강-파랑-빨강일 때 이 전략이 진행되는 모습입니다.
| 시도 | 추측 | 힌트 | 힌트 후 남은 후보 |
|---|---|---|---|
| 1 | 빨강-빨강-주황-주황 | ●1 ○1 | 208개 |
| 2 | 빨강-주황-노랑-노랑 | ●0 ○1 | 39개 |
| 3 | 주황-초록-주황-초록 | ●0 ○1 | 7개 |
| 4 | 초록-빨강-빨강-빨강 | ●3 ○0 | 4개 |
| 5 | 초록-빨강-빨강-파랑 | ●2 ○2 | 1개 |
| 6 | 초록-빨강-파랑-빨강 | ●4 ○0 | 정답 |
손으로 추리하는 요령
- 색의 개수부터 확인: 같은 색 하나로만 채운 추측(예: 파랑 4개)은 ●가 곧 그 색이 비밀 코드에 몇 개 있는지를 알려 줍니다. 다른 색이 섞이면 그 색의 위치 정보까지 함께 얻습니다.
- ●가 변한 순간을 기록: 한 칸만 바꿨는데 ●가 1 줄었다면 바꾸기 전 색이 그 칸에 맞았다는 뜻이고, 1 늘었다면 새 색이 그 칸의 정답입니다. (○가 함께 변할 수 있으니 합계도 같이 보세요.)
- 이미 나온 힌트를 매번 검산: 새 추측을 내기 전에 과거 추측 각각에 대해 "이 코드가 정답이면 같은 힌트가 나왔을까"를 확인하면 헛추측을 크게 줄일 수 있습니다.
- ●0 ○0은 큰 단서: 추측한 색이 모두 비밀 코드에 없다는 뜻이므로 그 색들은 이후 후보에서 완전히 지웁니다.
실제 연구 사례: 이 작은 게임을 학자들은 어떻게 다뤘나
사례 1. 커누스의 5수 알고리즘 (1976)
(위키백과 기준) 도널드 커누스는 1976년 《Journal of Recreational Mathematics》에 「The Computer as Master Mind」를 발표했습니다. 이 방법은 가능한 코드 집합을 계속 줄여 가면서, 각 추측 뒤 남을 수 있는 후보의 최대치(최악의 경우)가 가장 작은 추측을 고르는 최소최대(minimax) 전략입니다. 이 전략은 1,296개 코드 모두를 5번 안에 푼다고 소개됩니다. 이 페이지의 "첫 추측 모양" 표가 보여 주는 "최악의 경우 남는 후보"가 바로 이 방식이 줄이려는 값입니다.
사례 2. 평균을 최소로 만드는 전략 (1993)
(위키백과 기준) 코야마 겐지와 토니 라이는 1993년, 평균 시도 횟수를 최소로 하는 전략의 평균이 약 4.340번(5,625/1,296)이며 그때의 최악은 6번이라는 결과를 보였습니다. 5,625를 1,296으로 나누면 4.3403…이므로 분수와 소수 표기가 일치합니다. 즉 "최악을 줄이는 전략"과 "평균을 줄이는 전략"은 서로 다를 수 있습니다. 이 페이지의 간단한 전략은 두 최적 전략보다 단순하며, 위 시뮬레이션의 평균·최대 값은 그 단순 전략에 한한 결과입니다.
사례 3. 계산 복잡도 연구 (2004~2005)
(위키백과 기준) 미셸 더 본트는 2004년, 줄당 말이 n개이고 색이 2가지인 마스터마인드 판을 푸는 문제가 NP-완전임을 증명했습니다. 이어 2005년 제프 스터크먼과 궈치앙 장은 마스터마인드 충족 가능성 문제가 NP-완전임을 보였습니다. 이것은 칸 수와 색 수를 크게 키운 일반화된 문제에 대한 결과이고, 이 페이지의 4칸·6색처럼 작은 판은 1,296개를 전수 조사할 수 있어 어렵지 않다는 점은 달라지지 않습니다. 작은 게임도 일반화하면 어려운 문제가 될 수 있다는 점이 배울 거리입니다.
흔한 오해와 한계
- 힌트는 위치를 알려 주지 않습니다. ●가 있어도 어느 칸이 맞았는지는 추측 사이의 차이로 추론해야 합니다.
- 같은 색을 두 번 낸 추측에서 ○ 하나가 어느 칸을 가리키는지는 알 수 없습니다.
- 코드는 매번 무작위라 어느 판이 쉽고 어려운지는 운에 달려 있습니다. 한 색 네 번 같은 코드는 6가지뿐이라 매우 드뭅니다.
- "최악의 경우 5번"은 커누스 전략 같은 정교한 계산의 결과이며, 사람이 손으로 같은 효율을 내기는 어렵습니다.
- 색 구분이 어려운 경우를 위해 팔레트 버튼과 입력 칸에 1~6 숫자를 표시했습니다(빨강1·주황2·노랑3·초록4·파랑5·보라6).
자주 묻는 질문
같은 색을 여러 번 골라도 되나요?
네, 비밀 코드 자체에 같은 색이 중복될 수 있고, 추측할 때도 같은 색을 여러 칸에 쓸 수 있습니다. 앞선 표처럼 같은 색을 반복하면 그 색의 개수를 세는 용도로 쓸 수 있습니다.
10번 안에 못 맞히면 어떻게 되나요?
10번의 기회를 모두 쓰면 게임이 종료되고 정답이 공개됩니다. "새 게임" 버튼을 누르면 새로운 비밀 코드로 다시 시작합니다.
같은 코드가 연속으로 나올 수 있나요?
새 게임마다 1,296가지 중 하나를 독립적으로 무작위로 뽑으므로 이전 판과 같은 코드가 나올 확률도 1/1,296입니다. 이전 판을 피하는 장치는 없습니다.
전략 시뮬레이션의 숫자는 어디까지 믿어도 되나요?
표의 숫자는 페이지가 만들어질 때 1,296개 코드를 모두 대입해 계산한 값으로, "첫 추측 고정 + 모순 없는 첫 후보" 전략에 한정됩니다. 최적 전략의 성능이나 사람의 실제 평균 시도 횟수를 의미하지 않습니다.
숫자 야구와는 무엇이 다른가요?
숫자 야구는 보통 서로 다른 숫자로만 코드를 만들고 스트라이크·볼로 힌트를 줍니다. 여기서는 색이 중복될 수 있어 코드가 1,296가지로 늘고, 같은 색 반복 추측이 전략 도구가 됩니다.
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서로 다른 숫자 코드를 스트라이크·볼로 추리하려면 숫자 야구 게임, 색 순서를 기억하는 훈련은컬러 순서 기억 게임, 논리로 칸을 채우는 퍼즐은 스도쿠, 수학적 필승 전략이 있는 게임은 돌 가져가기(님) 게임을 이어서 해 보세요.