기본 도형 넓이·둘레·부피 공식 총정리

한 장으로 비교하는 공식표

r은 반지름, h는 높이, l은 원뿔의 모선(옆면을 따라 잰 비스듬한 길이)입니다.

표를 세로로 읽으면 규칙이 보입니다. 원기둥에서 원뿔로 가면 부피가 3분의 1이 되고, 반지름을 두 배로 늘리면 넓이는 4배, 구의 부피는 8배가 됩니다. 길이가 k배가 되면 넓이는 k²배, 부피는 k³배가 된다는 닮음의 원리입니다.

실제 사례 세 가지

사례 1. 그림자 두 개로 지구를 잰 사람: 에라토스테네스 (측정의 사례)

기원전 3세기 그리스의 학자 에라토스테네스는 하짓날 시에네에서는 햇빛이 깊은 우물 바닥까지 닿는데, 알렉산드리아에서는 수직 막대가 그림자를 만든다는 점에 주목했다고 전해집니다. 알렉산드리아에서 잰 그림자의 각도는 약 7.2도, 즉 원 한 바퀴(360도)의 50분의 1이었습니다. 두 도시 사이의 거리를 약 5,000스타디아로 보면 지구 둘레는 그 50배인 25만 스타디아가 됩니다. 이 계산은 원의 일부인 호의 길이가 중심각에 비례한다는 기본 성질만 씁니다. 결과가 얼마나 정확했는지는 스타디아의 길이를 어떻게 잡느냐에 달려 있습니다. 이집트 스타디온(약 157.5m)을 쓰면 약 39,375km로 현재 값(약 40,075km)에 가깝지만, 스타디아의 길이가 하나로 정해져 있지 않았기 때문에 오차는 1% 미만에서 16% 안팎까지 자료에 따라 다르게 평가됩니다. 배울 점은 둘레와 각도의 비례만으로 눈에 보이지 않는 큰 대상을 잴 수 있다는 것, 그리고 정확도는 공식이 아니라 입력값(거리 단위)에서 갈린다는 것입니다.

사례 2. 묘비에 새긴 부피의 비율: 아르키메데스의 구와 원기둥 (증명의 사례)

아르키메데스는 저서 『구와 원기둥에 대하여』에서 구의 부피가 그 구를 꼭 맞게 감싸는 원기둥 부피의 3분의 2이고, 겉넓이도 원기둥(밑면 포함)의 3분의 2라는 것을 보였습니다. 지름과 높이가 같은 경우를 계산하면 알 수 있습니다. 반지름이 r이면 원기둥의 부피는 πr² × 2r = 2πr³이고 구는 ⁴⁄₃πr³이므로 비가 2 대 3입니다. 이 결과로 구의 부피와 겉넓이의 정확한 공식이 처음 얻어졌다고 설명됩니다. 로마의 키케로는 기원전 75년 시칠리아 재무관으로 있을 때, 잡초에 덮인 아르키메데스의 무덤을 찾아냈다고 직접 기록했습니다. 아르키메데스가 죽은 지 137년이 지난 뒤였고, 그는 작은 기둥 위에 새겨진 구와 원기둥으로 무덤을 알아봤다고 합니다. 배울 점은 오늘 중학생이 외우는 4/3 πr³ 공식이 하나의 비율 관계에서 나왔다는 것입니다. 공식은 외울 숫자가 아니라 증명된 관계입니다.

사례 3. 부피를 무게로 바꾸다 틀린 비행기: 에어캐나다 143편 (단위의 사례)

1983년 에어캐나다 143편(보잉 767)은 비행 중 연료가 바닥나 두 엔진이 모두 멈췄습니다. 캐나다가 도량형을 미터법으로 바꾸던 시기였고, 연료 탱크의 양을 잰 값은 리터 단위였습니다. 조사 내용에 따르면 리터를 무게로 바꾸는 계수로 킬로그램 기준 값(대략 0.8)이 필요했는데, 파운드 기준 값인 1.77이 쓰였습니다. 그래서 킬로그램으로 22,300이 필요했던 자리에 파운드로 22,300(약 10,100kg)만 실린 것으로 설명됩니다. 그 결과 비행기에는 필요한 연료의 절반 안팎만 실렸고, 조종사들은 엔진이 멈춘 상태로 활공해 김리(Gimli)의 비행장에 착륙했습니다. 정확한 연료 수치는 자료마다 달라, 정확한 값이 필요하면 사고 조사 보고서를 확인해야 합니다. 배울 점은 부피 공식의 결과(리터, 세제곱미터)를 무게로 옮기는 순간 밀도라는 계수가 끼어들고, 그 계수의 단위를 틀리면 완전히 다른 값이 나온다는 것입니다.

직접 풀어보기: 가상 예시 4문제

아래 상황은 이해를 돕기 위한 가상 예시이며, 실제 사건이 아닙니다. 계산 결과는 소수 첫째 자리 안팎으로 반올림했습니다.

• 원형 테이블 (가상 예시): 지름이 120cm이면 반지름은 60cm입니다. 넓이는 π × 60² ≈ 11,310cm², 즉 약 1.13m²입니다. 지름을 그대로 반지름 자리에 넣으면 4배가 큰 값이 나오니 먼저 반으로 나눕니다.
• 화면 대각선 (가상 예시): 가로 48인치, 세로 27인치인 화면의 대각선은 √(48² + 27²) = √3033 ≈ 55.1인치입니다. 대각선 길이가 필요한 TV·모니터 사이즈 계산에 피타고라스 정리를 씁니다.
• 원기둥 물탱크 (가상 예시): 반지름 0.5m, 높이 1.2m이면 부피는 π × 0.5² × 1.2 ≈ 0.94m³입니다. 1m³가 1,000리터이므로 약 942리터 담을 수 있습니다.
• 사다리꼴 화단 (가상 예시): 윗변 3m, 아랫변 5m, 높이 2m이면 넓이는 (3 + 5) × 2 ÷ 2 = 8m²입니다. 높이는 비스듬한 변이 아니라 두 평행한 변 사이의 수직 거리입니다.

자주 하는 실수 점검표

• ÷ 2 누락: 삼각형, 사다리꼴에서 가장 흔합니다. 직사각형 넓이와 비교해 '절반쯤 되어야 한다'고 어림해 확인합니다.
• 지름과 반지름: 문제에 '지름'이라고 쓰여 있으면 공식에 넣기 전에 반으로 나눕니다.
• 높이의 정의: 높이는 밑변에 수직인 거리입니다. 기울어진 변의 길이를 넣지 않습니다.
• 단위: 1m = 100cm이므로 1m² = 10,000cm², 1m³ = 1,000,000cm³입니다. 길이 단위만 바꾸고 넓이 단위를 그대로 두는 실수를 조심합니다. 면적 단위가 헷갈리면 면적 단위 변환기로 확인하세요.
• 빗변 찾기: 피타고라스 정리에서 c는 직각의 반대편, 가장 긴 변입니다.

흔한 오해와 정정

• 오해: 피타고라스가 정리를 처음 발견했다. 실제: 기원전 19~16세기 사이로 추정되는 고대 바빌로니아 점토판 플림턴 322에는 피타고라스 삼조(직각삼각형을 이루는 세 수)를 나열한 표가 있습니다. 중국의 『주비산경』에도 3·4·5 직각삼각형을 다루는 '구고' 정리가 실려 있으며, 이 책은 대략 기원전 1세기 무렵의 문헌으로 보되 내용은 더 오래되었다고 봅니다. 연대는 자료마다 조금씩 다릅니다.
• 오해: 둘레가 두 배면 넓이도 두 배다. 실제: 같은 모양에서 길이가 두 배가 되면 넓이는 네 배, 부피는 여덟 배가 됩니다.
• 오해: π는 정확히 3.14다. 실제: 3.14는 어림값이며, π는 끝나지 않고 순환하지 않는 무리수입니다.
• 오해: 뿔의 부피가 기둥의 절반이다. 실제: 같은 밑넓이와 높이일 때 3분의 1입니다.

공식의 한계와 더 알아볼 점

여기 나온 공식은 평평한 면에서 성립하는 유클리드 기하의 결과입니다. 지구 표면처럼 굽은 면 위에 그린 삼각형은 내각의 합이 180도보다 커서, 큰 거리를 잴 때는 다른 기하가 필요합니다. 헤론의 공식(세 변으로 넓이를 구하는 공식)은 헤론의 『측량학(메트리카)』에 증명되어 있는데, 이 책은 1896년 이스탄불의 필사본에서 리하르트 쇠네가 알아보기 전까지 오랫동안 사라진 것으로 여겨졌습니다. 공식 자체는 헤론보다 앞서 아르키메데스가 알았다는 전승이 있으나, 이는 후대의 증언에 기댄 주장이어서 학자들 사이에서 조심스럽게 다뤄집니다. 1247년 중국 수학자 진구소(秦九韶)가 헤론의 공식과 동등한 공식을 따로 발표한 점도 같은 결과가 여러 곳에서 독립적으로 나왔음을 보여 줍니다.

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자주 묻는 질문