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직사각형·정사각형: 넓이 = 가로 × 세로
가장 기본이 되는 도형으로, 직사각형의 넓이는 가로와 세로를 곱해서, 둘레는 가로와 세로 합을 두 배로 계산합니다.
설명
직사각형의 넓이는 "가로 × 세로"로 구하고, 둘레는 "(가로 + 세로) × 2"로 계산하는 것으로 알려져 있습니다. 정사각형은 네 변의 길이가 모두 같은 직사각형의 특수한 형태이므로, 넓이는 "한 변 × 한 변(한 변의 제곱)", 둘레는 "한 변 × 4"로 구합니다. 방바닥 면적이나 벽지 소요량을 계산할 때 가장 많이 쓰이는 기초 공식입니다.
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삼각형: 넓이 = 밑변 × 높이 ÷ 2
삼각형의 넓이는 밑변과 높이를 곱한 값을 2로 나누어 구하며, 세 변의 길이만 알 때는 헤론의 공식을 사용하기도 합니다.
설명
삼각형의 넓이는 "밑변 × 높이 ÷ 2"로 구하는 것이 가장 기본적인 방법으로 알려져 있습니다. 높이를 직접 알기 어렵고 세 변의 길이(a, b, c)만 주어졌을 때는, 둘레의 절반 s = (a+b+c)/2를 구한 뒤 넓이 = √(s(s-a)(s-b)(s-c))로 계산하는 헤론의 공식을 활용할 수 있습니다. 삼각형의 세 내각의 합은 항상 180도라는 성질도 함께 알아두면 여러 문제에 응용할 수 있습니다.
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원: 넓이 = πr², 둘레(원주) = 2πr
원의 넓이는 반지름의 제곱에 원주율(π)을 곱해서, 둘레는 반지름에 2π를 곱해서 구합니다.
설명
원의 넓이는 "π × 반지름²(πr²)"으로, 둘레(원주)는 "2 × π × 반지름(2πr)"으로 구하는 것으로 알려져 있습니다. 원주율 π는 대략 3.14159로 계산에 사용되는 무리수입니다. 지름(반지름의 2배)이 주어졌다면 반지름으로 환산한 뒤 같은 공식을 적용하면 됩니다. 원형 테이블이나 원형 화단처럼 둥근 면적을 계산할 때 자주 쓰입니다.
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평행사변형·사다리꼴 넓이 공식
평행사변형은 "밑변 × 높이"로, 사다리꼴은 "(윗변 + 아랫변) × 높이 ÷ 2"로 넓이를 구합니다.
설명
평행사변형은 마주 보는 두 쌍의 변이 서로 평행한 사각형으로, 넓이는 직사각형과 비슷하게 "밑변 × 높이"로 계산하는 것으로 알려져 있습니다. 사다리꼴은 한 쌍의 변만 평행한 사각형으로, 넓이는 "(윗변 + 아랫변) × 높이 ÷ 2"로 구합니다. 두 공식 모두 도형을 삼각형이나 직사각형으로 잘라 재배치하면 유도할 수 있는 원리로 설명됩니다.
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피타고라스 정리: 직각삼각형의 세 변 관계
직각삼각형에서 직각을 낀 두 변의 길이를 각각 제곱해 더한 값은 빗변의 길이를 제곱한 값과 같다는 정리입니다(a² + b² = c²).
설명
피타고라스 정리는 직각삼각형에서 직각을 이루는 두 변(a, b)의 제곱의 합이 빗변(c, 직각의 반대편에 있는 가장 긴 변)의 제곱과 같다는 관계(a² + b² = c²)를 나타내는 것으로 알려져 있습니다. 예를 들어 세 변의 길이가 3, 4, 5인 삼각형은 3² + 4² = 5²(9 + 16 = 25)이 성립해 직각삼각형이 되는 대표적인 예로 자주 언급됩니다. 이 정리는 두 지점 사이의 최단 거리를 구하거나, 화면 대각선 길이를 계산하는 등 실생활 계산에도 폭넓게 활용됩니다.
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각기둥·원기둥의 부피: 밑넓이 × 높이
단면이 위아래로 똑같이 이어지는 기둥 모양 입체도형은 밑면의 넓이에 높이를 곱하면 부피를 구할 수 있습니다.
설명
직육면체, 각기둥, 원기둥처럼 밑면의 모양이 위에서 아래까지 똑같이 이어지는 입체도형은 부피를 "밑넓이 × 높이"로 구하는 것으로 알려져 있습니다. 예를 들어 원기둥이라면 밑면인 원의 넓이(πr²)에 기둥의 높이를 곱하면 되고, 직육면체라면 가로 × 세로 × 높이로 계산할 수 있습니다. 이 원리는 물탱크나 통조림 캔처럼 기둥 모양 용기의 부피를 계산할 때 그대로 적용됩니다.
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각뿔·원뿔·구의 부피 공식
뿔 모양 도형의 부피는 같은 밑넓이·높이를 가진 기둥의 3분의 1이며, 구의 부피는 4/3 × π × 반지름³로 구합니다.
설명
각뿔과 원뿔은 밑면이 위로 갈수록 한 점으로 모이는 형태로, 부피는 "밑넓이 × 높이 ÷ 3"으로 구하는 것으로 알려져 있습니다. 이는 같은 밑넓이와 높이를 가진 기둥 부피의 3분의 1에 해당합니다. 한편 구(공 모양)의 부피는 "4/3 × π × 반지름³" 공식으로 계산하며, 겉넓이는 "4 × π × 반지름²"로 구합니다. 아이스크림콘이나 축구공처럼 뿔·구 형태 물건의 부피를 어림잡을 때 참고할 수 있는 공식입니다.
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겉넓이란 무엇인가
입체도형의 겉넓이는 도형을 펼쳤을 때 나타나는 모든 면의 넓이를 합한 값으로, 포장지나 페인트 소요량 계산에 쓰입니다.
설명
겉넓이(표면적)는 입체도형의 겉면을 모두 펼쳐 놓았을 때 나오는 면들의 넓이를 합한 값으로 알려져 있습니다. 예를 들어 직육면체 상자의 겉넓이는 마주 보는 세 쌍의 직사각형 넓이를 각각 구해 모두 더하면 되고, 원기둥은 위아래 두 원의 넓이와 옆면을 펼친 직사각형의 넓이를 더해 구합니다. 상자를 포장하는 데 필요한 포장지의 양이나, 벽면에 필요한 페인트 양을 어림잡을 때 겉넓이 개념이 활용됩니다.