각도 단위 변환기

각도 단위 변환기는 언제 쓰나요?

각도기로 잰 도(°) 값을 프로그래밍 함수에 넣기 위해 라디안으로 바꿀 때, 측량 자료의 gon 값을 도로 바꿀 때, 지도 앱의 십진수 위도·경도를 도-분-초로 읽을 때 이 변환기를 씁니다. 하나의 값을 입력하면 다섯 가지 단위와 도분초 표기, π의 배수 표현이 동시에 나옵니다.

도, 라디안, 그라디안은 어떻게 다른가요?

도(degree)는 원 한 바퀴를 360등분한 가장 익숙한 단위입니다. 라디안(radian)은 반지름과 호의 길이가 같아지는 중심각을 1로 정의하며, 원 한 바퀴는 2π(약 6.2832) 라디안입니다. 수학·물리·프로그래밍에서 삼각함수 계산 시 기본적으로 라디안을 사용합니다. 그라디안(gradian, gon)은 원 한 바퀴를 400등분한 단위로, 직각이 정확히 100gon이어서 측량 분야에서 쓰입니다. 분(′)과 초(″)는 도를 60진법으로 쪼갠 단위로(1도=60분, 1분=60초) 위도·경도 표기나 천문학에서 자주 등장합니다.

변환 공식

• 도 → 라디안: 도 × π ÷ 180 / 라디안 → 도: 라디안 × 180 ÷ π
• 도 → 그라디안: 도 × 10 ÷ 9 / 그라디안 → 도: 그라디안 × 0.9
• 도 → 분: 도 × 60 / 도 → 초: 도 × 3,600
• 십진수 도 → 도분초: 정수부가 도, 소수부 × 60의 정수부가 분, 그 소수부 × 60이 초

이 도구는 모든 값을 도로 환산한 뒤 목표 단위로 나누는 방식이라 어떤 단위끼리도 같은 방식으로 변환됩니다.

단위 간 기본 비율

주요 각도 환산표

두 표는 빌드 시 위 공식과 최대공약수 약분으로 계산한 값이며, 소수 값은 반올림되어 있습니다.

검산 예시

• 예시 1 – 90°: 90 × π ÷ 180 = π/2 ≈ 1.5708 rad, 90 × 10 ÷ 9 = 100 gon.
• 예시 2 – 1 rad: 180 ÷ π ≈ 57.2958°. 소수 부분 0.2958 × 60 = 17.7′, 0.7′ × 60 ≈ 44.8″이므로 약 57°17′44.8″입니다.
• 예시 3 – 십진수 위도 37.5665°: 0.5665 × 60 = 33.99′, 0.99′ × 60 = 59.4″ 이므로 37°33′59.4″입니다.
• 예시 4 – 프로그래밍: JavaScript에서 Math.sin(30)은 30을 라디안으로 읽어 약 -0.988을 반환합니다. Math.sin(30 × Math.PI / 180)이어야 0.5(부동소수점 오차로 0.49999999999999994)가 됩니다.

흔한 실수와 한계

• 계산기나 스프레드시트의 DEG/RAD 모드를 바꾸지 않고 삼각함수를 쓰면 결과가 완전히 달라집니다. 값에 따라 오류인지 알아채기 어렵습니다.
• 분(′)과 초(″)는 시간의 분·초와 이름이 같지만 각도 단위이며, 시간의 분·초와 서로 환산되지 않습니다.
• 도분초를 십진수로 바꿀 때 "37.33.59"를 37.3359로 읽는 실수가 잦습니다. 도 + 분 ÷ 60 + 초 ÷ 3600으로 계산해야 합니다.
• 음수 각도(시계 방향 회전)와 360°를 넘는 각도(여러 바퀴 회전)도 변환은 되지만, 이 도구는 값을 0~360°로 정규화하지 않고 그대로 환산합니다.
• 화면에 표시되는 값은 소수점 여섯째 자리까지 반올림한 것이며, 라디안은 무리수이므로 정확한 값은 π 배수 표현이 더 정확합니다.
• 밀리라디안(mrad)이나 군용 밀(mil) 같은 단위는 이 도구에 포함되어 있지 않습니다. 라디안 결과에 1,000을 곱하면 밀리라디안을 얻습니다.

라디안을 쓰는 이유가 드러나는 계산

각도를 라디안으로 쓰면 원호의 길이가 반지름 × 각도라는 단순한 식이 됩니다. 반지름 10cm 부채꼴에서 중심각 60° (= π/3 rad)라면 호의 길이는 10 × π/3 ≈ 10.47cm, 넓이는 r² × θ ÷ 2 = 100 × (π/3) ÷ 2 ≈ 52.36cm²입니다. 도 단위로 쓰면 같은 식에 π/180을 따로 곱해야 합니다.

시계 바늘도 좋은 연습 문제입니다. 분침은 1분에 6°, 시침은 1분에 0.5° 움직입니다. 2시 30분이면 분침은 180°, 시침은 2 × 30 + 30 × 0.5 = 75°이므로 두 바늘이 이루는 각은 105°이고, 라디안으로는 105 × π ÷ 180 = 7π/12 ≈ 1.8326입니다.

각도가 실제 거리로는 얼마인가

각도 단위는 추상적이라 감이 오지 않을 때가 많습니다. 아래 표는 각도가 1km 거리에서 가리키는 폭과, 지구를 평균 반지름 6371km의 구로 가정했을 때 지구 표면(대원)에서 대응하는 길이입니다. 계산은 빌드 시 수행했으며(1° ≈ 111.19km), 실제 지구는 완전한 구가 아니어서 위도에 따라 수십~수백 m 차이가 납니다.

여기서 도분초와 소수 자리의 관계가 보입니다. 1분은 약 1.85km(해상에서 쓰는 해리의 정의와 맞닿는 값), 1초는 약 31m입니다. 위도·경도를 십진수 도로 적을 때 소수 몇 째 자리까지 필요한지는 아래 표처럼 필요한 정밀도에서 거꾸로 정하면 됩니다.

매장 위치를 지도에 찍는 정도라면 소수 다섯째 자리(약 1.1m)면 충분하고, 도시나 지역 단위 비교라면 둘째 자리(약 1.1km)로도 됩니다. 경도 방향 거리는 위도가 높아질수록 줄어들어 cos(위도)를 곱해야 하므로, 이 표는 위도 방향 값이라는 점을 기억하세요.

각도 정규화: 450°나 -90°는 어떻게 읽나

회전 각도는 360°를 넘거나 음수일 수 있고, 같은 방향을 가리키는 값이 무한히 많습니다. 하나의 방향을 0 이상 360 미만으로 표현하려면 ((x mod 360) + 360) mod 360 으로 계산합니다. 이 변환기는 입력값을 정규화하지 않고 그대로 환산하므로, 방향을 비교할 때는 아래 표처럼 먼저 정규화한 값으로 비교하는 것이 안전합니다.

프로그래밍에서 % 연산자는 음수에 대해 음수 나머지를 돌려주는 언어가 많아(JavaScript 포함) 위 식처럼 한 번 더 더하는 처리가 필요합니다. 라디안으로 작업할 때는 같은 방식으로 2π를 기준으로 합니다.

시계 바늘 각도 연습 표

시침과 분침이 이루는 각은 |30 × 시 − 5.5 × 분| 도이고, 180°를 넘으면 360°에서 뺀 값을 작은 각으로 씁니다(30은 시침이 한 시간에 도는 각, 5.5는 분침 6°에서 시침 0.5°를 뺀 분당 상대 속도입니다). 아래 값은 이 식으로 빌드 시 계산했습니다.

상황별 사용 시나리오

• 웹·게임 개발자: 캐릭터를 45° 회전시키는 코드를 쓸 때 입력란에 45를 넣고 라디안 결과(0.785398)를 복사해 Math.cos·Math.sin 인자로 씁니다. CSS의 rotate(45deg)나 canvas의 rotate(0.785398)처럼 같은 회전이라도 단위가 다르다는 점에 주의하세요. CSS는 deg, rad, grad, turn 단위를 모두 받지만 canvas와 Math 함수는 라디안만 받습니다.
• 측량·토목 실무자: 장비가 gon으로 출력한 값 100gon은 90°입니다. 0.9를 곱하는 한 단계 계산이라 현장 도면의 도 단위 값과 쉽게 대조할 수 있습니다. 장비 설정(DEG/GON/RAD)이 도면과 같은지 먼저 확인하세요.
• 지도·여행 앱 사용자: 지도에서 복사한 37.5665를 입력하면 37° 33′ 59.4″로 나오므로, 도분초만 받는 양식(관측·항해 일지 등)에 그대로 옮길 수 있습니다. 반대로 도분초를 받았다면 도 + 분 ÷ 60 + 초 ÷ 3600을 먼저 계산해 도 단위로 입력하세요.
• 학생: 삼각함수 단원에서 30°, 45°, 60°의 라디안 값(π/6, π/4, π/3)이 위 환산표와 맞는지 확인하며 π 배수 표현에 익숙해질 수 있습니다.

결과 활용법

라디안 결과는 코드에 바로 붙여 넣어 삼각함수에 쓰고, 도분초 결과는 지도 서비스와 측량 도면의 좌표 표기에 쓸 수 있습니다. 위도·경도 전체 변환은 GPS 좌표 변환기, 경사를 퍼센트나 비율로 바꾸려면경사도 변환기, 방위를 이름으로 읽으려면나침반 방위각 변환기, 사다리 설치 각도는사다리 각도 계산기를 이용하세요.

자주 묻는 질문